FATORIAL
a
I. Fatorial Numérico
a
Vem a ser a seqüência de produtos inteiros positivos até um. Vem a estar representado pelo símbolo de (!).
a
2! = 2 x 1 = 2
3! = 3 x 2 x 1 = 6
4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040
E por ai vai...
a
OBS:
5! = 5x 4 x 3 x 2 x 1 = 5 x 4! = 5 x 4 x 3! = 5 x 4 x 3 x 2!
a
NOTA:
0! = 1
1! = 1
a
II. Operações com fatoriais
a
a) Soma, Subtração e Produto. Resolve-se cada um de forma individual;
a
2! + 3! = 2 x 1 + 3 + 2 x 1 = 2 + 6 = 8
6! – 4! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 – 4 x 3 x 2 x 1 = 720 – 24 = 696
4! x 3! = 4 x 3 x 2 x 1 x 3 x 2 x 1 = 24 x 6 = 144
a
b) Potencias fatoriais: Escreve-se na forma de produto
a
(4!)² = 4! x 4! = 24 x 24 = 576
(3!)³ = 3! x 3! x 3! = 6 x 6 x 6 = 216
a
OBS:
(2)²! = 4!
a
II. Divisões fatoriais com um elemento
Reduz-se a um elemento comum a uma forma equivalente ao outro.
a
_5!_ = _5 x 4!_ = 5
4! aaaaaaa4!
a
_6!_ = _6 x 5 x 4!_ = 30
4! aaaaaaaa 4!
a
_8!_ = _8 x 7 x 6 x 5!_ = 336
5! aaaaaaaaaaa5!
a
_3!_ = ____3!____ = __1__
5! aaaaa5 x 4 x 3! aaaaaa20
a
IV. Divisões fatoriais com MAIS de um elemento
a
a) Produto
Escolhe-se o maior elemento de cima e o maior de baixo e resolve como feito anteriormente, o segundo maior de cima com o segundo maior de baixo, e por ai vai caso, a quantidade de elementos são diferentes, o menor deles é resolvido à parte, isto é, torne-o um número não – fatorial.
a
_6! x 3!_ = _6!_ x _3!_ = _6 x 5!_ x ___3!___ = 6 x _1_ = _3_
5! x 4! aaaaa5! aaaa4! aaaa5! aaaa4 x 3! aaaaaaaa4 aa2
a
Nota: Peguei os elementos do maior pro menor e os resolvi separadamente
a
_16! x 13! x 3! _ = _16!_ x _13!_ x 3! = _16 x 15!_ x ___13!___ x 6 = 16 x _1_ x 6 = _48_
aaa15! x 14!aaa aaaaaaaa 15!aaaaa14aaaaaa 5! aaaaaaa14 x 13! aaaaaaaa14 aaaaaaa 7
a
__6!__ = _6 x 5 x 4!_ = _____30____ = _30_ = _5_
(4!)² aaaaaaa4! x 4! aaa4 x 3 x 2 x 1 aaaaa24 aaaa4
a
b) Soma e Subtração
a
aaaaEscreve tudo sobre a forma de menor fatorial, em seguida põem-se em evidencia, e efetua-se normalmente
a
| Nota: Todo número igual que é posto em evidencia é um 4a + 2 = 2 (2a + 1) |
a
___6!__ = __6 x 5 x 4 x 3!__ = __6 x 5 x 4 x 3!__ = __6 x 5 x 4 __ = 24
3! + 4!aaaaaa 3! + 4 x 3!aaaaaaaaa 3! ( 1 + 4) aaaaaaaaaa5
a
_6! + 3!__ = __6 x 4 x 3! + 3! __ =__3! (6 x 5 x 4 + 1) __ = _– 121_
3! – 4!aaaaaaaa 3! – 4x 3! aaaaaaaaaaaaa3! (1 – 4) aaaaaaaaa3
a
V. Fatorial Literal
O Fatorial caracteriza-se pelo produto do antecedente.
a
n! = n x (n – 1) x (n – 2) (n – 3) ...
a
aaaaNOTA: caso você tenha dificuldade em visualizar o antecedente de um elemento vá subtraindo um a um
a
n! = n x (n – 1) x (n – 1 – 1) (n – 1 – 1 – 1) ...
n! = n x (n – 1) x (n – 2) (n – 3) ...
a
Perceberam que eu peguei o anterior e subtraí um?
a
Outros casos:
a
(n + 1)! = (n + 1) (n + 1 – 1) (n + 1 – 1 – 1) (n + 1 – 1 – 1 – 1)
(n + 1)! = (n + 1) n (n – 1) (n – 2) ...
a
(n – 1)! = (n – 1) (n – 1 – 1) (n – 1 – 1 – 1) (n – 1 – 1 – 1 – 1)
(n + 1)! = (n – 1) (n – 2) (n – 3) (n – 4) ...
a
VI. Divisão de fatorial literal
Mesmo procedimento dos numéricos.
a
a) Produto: Mesmo procedimento dos numéricos.
a
__n!__ = _n x (n – 1)!_ = n
(n – 1)!aaaaa (n – 1)!
__n (n – 2)!__ = _n x (n – 2) (n – 3)!_ = n (n – 2) = n2 – 2n
aaa(n – 3)! aaaaaaaaaaa(n – 3)!
a
b) Soma e subtração
Mesmo procedimento dos numéricos
a
_______n!________ = _____n (n – 1) (n – 2)!____ = ___( n – 2)! [n (n – 1)]___ = ___n (n – 1)___ = n – 1
a(n – 1)! + (n – 2)!aaaaaaa (n – 1) (n – 2)! + (n – 2)! aaaaaaaa (n – 2)! aaaaaaaa[(n – 1) + 1)] n
a
_(n – 1)! – (n – 2)!_ = _______________(n – 1) (n – 2)! – (n – 2)!_____________ =
(n + 1)! + (n + 2)!aaaa (n + 1) n (n – 1) (n – 2)! + (n + 2) (n + 1) n (n – 1) (n – 2)!
a
______________(n – 2)! ( n – 1 + 1)_______________ = _________________n_________________
(n – 2)! [(n + 1) n (n – 1) + (n + 2) (n + 1) n (n – 1)] aaaaa(n + 1) n (n – 1) + (n + 2) (n + 1) n (n – 1)
a
________________n_________________ = ____________1________ = __________1______ =
n [(n + 1) (n – 1) + (n + 2) (n + 1) (n – 1)] aaaaa(n² – 1) + (n + 2) (n² – 1) (n² – 1)[1 + n + 2)]
a
______1_____ = _______1_______
(n² – 1)[n + 3)]aaaa n³ + 3n² – n – 3
a
VII. Equação
Procura resolver as equações, utilizando-se dos conceitos anteriores
a
___n!___ = 6
a(n – 2)!
_n (n – 1) (n – 2)!_ = 6
aaaa(n – 2)!
n (n – 1) = 6
n² – n – 6 = 0
n = 3e n = – 2 (negativo não entra)
n = 3
a
8 n! = _(n + 1)! + (n + 2)!_
aaaaaaaaaaan + 1
8n! = _(n + 1) n! + (n + 2) (n + 1) n!_
aaaaaaaaaaaaaaaan + 1
8n! = __(n + 1) [ n! + (n + 2) n!]__
aaaaaaaaaaaaaaan + 1
8n! = n! + (n + 2) n! [Simplifica-se tudo por n!]
8 = 1 + n + 2
8 = 3 + n
n = 8 – 3
n = 5